Matematik adına bir savunma yapmak istiyorum

Matematik adına bir savunma yapmak istiyorum.Matematiğin buna gereksinim duymadığı, zira, nedenleri ne olursa olsun, yararlılığı ve övgüye değerliği daha yaygın şekilde kabul edilen çalışma alanı pek fazla olmadığı söylenebilir. Bu görüş doğru olabilir ; ayrıca , Einstein’ın parlak başarılarından bu yana, çoğunluğun gözünde matematikten daha üst sıralara yerleşen bilim dalları muhtemelen yalnızca yıldızlar astronomisi ve atom fiziği olmuştur.

Bir matematikçinin kendini savunma durumuna girmesine gerek yoktur. Matematiğin değeri konusunda toplumun ayrıca ikna edilmesi gerekmemektedir.

                             “Bir matematikçinin , matematik hakkında yazı yazmakta olduğunu algılaması hüzün verici bir olgudur. Matematikçinin işlevi birşeyler ortaya koymak ,yeni teoremler ispatlamak , matematik bilimine katkıda bulunmaktır ; kendisinin yada diğer matematikçilerin neler yapmış olduğunu anlatmak değil. Devlet adamları politika yazarlarını, ressamlar sanat eleştirmenlerini küçümserler; fizoloflar, fizikçiler ve matematikçiler de genellikle benzer duyguları taşırlar. İnsanların yararına çalışan kişilerin , bu çalışmaları açıklayan kişilere karşı duyduğundan daha derin , genelliklede daha haklı, başka bir küçümseme duygusu yoktur.

Açıklama , eleştirme , övgü ikinci sınıf beyinlerin işidir.”                                                                                                                                                      g.h.hardy

 

PİSİ PİSİNE GİTTİ DİDETRO

İ.Ö 540 yılında Pisagorcular olarak bilinen bir topluluk doğal sayılara ve onun birbirleri ile olan oranlarına (tamsayılar) tapmışlardır.(Doğal sayılar 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... şeklinde sonsuza kadar giden sayılardır) Onlara göre tanrı dünyayı yaratırken bu sayıları kullanmıştı. Ünlü Pisagor teoremini bulan da bu topluluktur. (Pisagor teoremi : Bir dik üçgende dik kenarlarının karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir) Fakat daha sonraları ortaya attıkları bu teoremi ellerindeki mevcut sayılarla ispat edememişlerdir.Yani  işi basitleştirmek için dik kenarların uzunluğunu bir birim alırsak hipetonüsün karesinin 2 ye eşit olduğu gibi bir sonuca ulaşırız. Bu durum pisagorcuları çok büyük bir şaşkınlığa itmiştir çünki ellerindeki sayıların hiçbirinin karesi iki olmuyordu. Bu Pisagorcular için çok büyük bir sorundu ve aslında bir şekilde kendileride  tamsayılardan başka sayılarda olduğunu ispatlamışlardır. Ama bunu hiçbir zaman kabul etmemişlerdir. Pisagorcularla bir gemi yolculuğuna çıkan Didetro Pisagorculara  tamsayılardan başka sayılarında olduğunu söyleyince Didetroyu denize atarlar. Didetro boğulur ve ölür. Gerçek 1800 lü yıllarda ortaya çıkar ve tamsayılardan da başka sayıların olduğu bulunmuş ve bu sayılara irasyonel sayılar denmiştir.(İrasyonel sayılar a/b şeklinde yazılamayan sayılardır

 

Başa dön 

 

 

 

 

 

 

 

KÖK 2 NEDEN RASYONEL SAYI DEĞİLDİR

 

Şimdi kök2 nin neden bir Rasyonel sayı olmadığını ispatlayalım. Belirtmeliyim ki bu ispat matematiğin birinci sınıf ispatlarındandır. Bu ispatı herkesin anlaması için size rasyonel sayının ne olduğunu söylemem gerekiyor. Rasyonel sayılar a ve b bir tamsayı olmak üzere (b sıfırdan farklı olmak şartı ile)  a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu ispatı matematikçilerin en büyük silahlarından olan olmayana ergi metodu ile ispatlayacağız. Yani kök2nin bir rasyonel sayı olduğunu kabul edip daha sonrada çelişki buılmaya çalışacağız. Eğer bunu başaranilirsek kök2nin rasyonel olmadığını ispatlamış oluruz. Kabul edelimki  kök2 bir rasyonel sayıdır yani a/b şeklinde yazılabilir olsun. Ve a ile b nin hiçbir ortak çarpanı olmasın varsa bile sadeleşmiş olsun (Aralarında asal sayılar olsun).Buradan :

    Kök2=a/b

           2=akare/bkare (iki tarafında karesini alalım)

2.bkare=akare

ifadesi bize akare nin bir çift sayı olduğunu (2 ye bölünebildiği için) ve dolayısıyla a’ nın da çift sayı olduğu sonucunu  çıkarır. Buradan a çift sayı olduğu için a yerine 2n yazılabilir.

2.bkare=(2.n)kare

2.bkare=4.nkare

bkare=2.nkare

olur. Buradan bkare ninde bir çift sayı olduğunu görürüz (ikiye bölünebildiği için) ve dolayısıyla b ninde çift olduğu sonucuna varırız. Elimizdekilere bakarsak a ve b sayıları çift sayı oldu. Yani ikisininde 2 ye bölünebildiğini gördük. İspatımızın başında ikisin de ortak çarpanı olmadığını kabul etmiştik. Ama 2 hem a’yı hemde b’yi böldüğü için ortak çarpan olur. Bu bir çelişkidir. Yani kök2sayısı a/b şeklinde yazılamaz.Dolayısıyla kök2rasyonel sayı değildir.

Not: bu yaptığımız ispattaki estetiğe dikkatinizi çekmek istiyorum

 

Başa dön 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

İKİ NEGATİF SAYININ ÇARPIMI NEDEN POZİTİFTİR?

İki negatif sayının çarpımı neden pozitif olur hiç merak ettiniz mi? Acaba bu soruyu lise öğretmenimize sorsak bize ne yanıt verirdi. Muhtemelen cevabı bilmediği için soruyu geçiştirmek için elinden geleni yapacak ve hatta sizi ukalalıkla suçlayacaktır. İki pozitif sayının çarpımının pozitif olduğunu anlayabiliyoruz ama neden iki negatif sayıyı çarpınca pozitif bir sonuç bulalım ki? Matematikte her söylenin bir ispatı vardır ve tabi ki bunun da bir ispatı var. Şimdi size bunun ispatını vereceğim.Bunun için ilk önce bir X sayısı tanımlamamız gerekiyor. a ve b iki rakam olmak üzere

X=a.b+(-a).b+(-a).(-b)

 olsun.Bu eşitliğin sağtarafını (-a) parentezine alıyorum.

X=a.b+(-a)[b+(-b)]

X=a.b+(-a).0

X=a.b sonucunu elde ederiz. Şimdi X sayısını bir daha çözelim

X=a.b+(-a).b+(-a).(-b)

bu seferde sol tarafı b parentezine alalım

X=b[a+(-a)]+(-a).(-b)

X=b.0+(-a).(-b)

X=(-a).(-b) olur. Görüldüğü gibi X sayısı hem a.b hemde (-a).(-b) ye eşit oldu. Buradan diyebiliriz ki iki negatif sayının çarpımı pozitiftir

 Başa dön 

 

 

 

 

 

FİBONACCİ SAYILARI VE ALTIN ORAN

Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır.Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi.Fibonacci (bu soyadının anlamı "Bonacci'nin oğlu"dur) 1202' de, 1228

yılındaki ikinci baskısı sayesinde günümüze kadar varolmayı sürdürmüş kitabı Liber Abaci'yi ("Abaküs konusunda bir kitap" olarak Türkçeye çevirilebilir) yazmıştır. Liber Abaci, Hint-Arap sayılar sistemindeki

sayısal simgelerin (1,2,3,... sayıları) Avrupa'ya girmesinde oldukça önemli bir yer sahibidir. Oldukça büyük boyutlu bir kitaptır ve o dönemde bilinen matematiğin büyük bir bölümünün kayıtlarını içerir. Cebirin kullanımı , farklı önem ve zorluk derecesinde bir çok örnek de verilerek, çok özel bir yer tutmaktadır. Ancak bunların arasından bir tanesi ve yalnız bir tanesi diğerlerinin çok ötesinde ünlü olmuştur: Günümüze erişen 1228 yılındaki ikinci baskının 123-124. sayfalarında yer almaktadır ve tavşan üretmek gibi  matematikle pek ilgisi olmadığının düşünüldüğü bir konuyla ilgilidir. Temelde sorulan soru şudur; eğer bir çift tavşan her ay yeni bir çift tavşan doğurursa ve her yeni tavşan çifti kendi doğumlarından iki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir çift tavşandan bir

yılda kaç çift tavşan üretilebilir? İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız olsun, tabi matematik bu yavruların anasız, babasız nasıl büyütülecekleri veya bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna pek girmez. İkinci ayda, bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olacak. Üçüncü ayda bu tavşanlarımız yavrulayacağından iki çift tavşanımız olacak. Bu yeni doğmuş olan çift dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim aylarının her birinde bizimkahraman tavşan çiftlerimizin sayısını vermektedir. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

Bu diziye  baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi       dışında) kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur.    Böylece, örneğin, dizinin sonundaki Aralık ayı sayısı , Ekim ve Kasım        sayıları olan 55 ve 89 sayılarını toplayarak kolayca    bulunabilir.

                Zannedersem buraya kadar bir sorun yoktur, çünkü ilk bakışta gayet sıradan bir dizi gibi durmaktadır, bizim dizimiz. Ancak matematikçileri bu kadar heyecanlandıran ve peşinden sürükleyen olay nedir? Eğer siz matematiksever dostlarım için yazdığım bu yazı amacını yerine getirebilirse, "Fibonacci Sayıları" nın esrarengiz özelliklerinden hiç olmazsa bir kaçı onların neden bu kadar ilginç olduğunu anlaşılır kılacaktır. Şimdi bu diziyi genelleyelim. Tavşanların bu şekilde devamlı yeni bebek sahibi olduklarını düşünürsek dizimizi sonsuza kadar uzatabiliriz. Hatta tavşanların hepsini bir yana bırakarak , n'inci sayıyı  Fn olarak yazarak (Fibonacci adının baş harfi olduğundan F harfini kullanıyoruz) ve Fn 'in kendinden önce gelen Fn-2  ve  Fn-1  sayılarının toplamı olduğunu hatırlayarak sonsuz bir sayı dizisi tanımlayabiliriz. Öyleyse Fibonacci sayılarının dizisi şu şekilde yazılabilir;

F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , ....., Fn , .....

          Öyleyse bize,  F1 =1  ve  F2 =1 verildiğinde daha sonra gelen bütün sayıları bulabilmemizi sağlayan basit denklem şöyle olacaktır;

Fn = Fn-1  +  Fn-2

          Bu formüle bakarak bazı şeyleri söyleyebiliriz. Mesela n=3 ise;
F3  =  F2  + F1  = 1 + 1 = 2 olur. Aynı şekilde F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8  vb.. bulunabilir. Eğer biz bu işleme devam edersek sayılar korkunç derecede büyürler. Mesela dizinin 25' inci sayısı 75.025 olmuş, 100'üncü sayısı olan F100 = 354.224.848.179.261.915.075 gibi 21 basamaklı dev bir sayı olmuştur. Ancak bu dizinin terimlerine ilk bakışta görülemeyen bir başka düzen daha vardır. Dizinin sayıları ilerledikçe bu düzen kendini daha belirgin bir biçimde ortaya koyar. Eğer her Fibonacci sayısı kendisinden sonra gelen komşusuna bölünürse ve bulunan oranlar yazılırsa bu düzen hemen karşımıza çıkar. Böylece ilk iki oranla yola çıkarak, F1 / F2 = 1 , F2 /F3 = 1/2 (yani 0.5) olarak bulunur. Bu işlemi aynen devam ettirirsek sonraki sayfada gösterildiği gibi sayılar elde edilir... 

 

1.000000
0.500000
0.666666
0.600000
0.625000
0.615385
0.619048
0.617647
0.618182
0.617978
0.618056
0.618026
0.618037
0.618033
0.618034
0.618034

          Bu sayılar gayet sıradan bir sayı gibi görünen 0.618034... sayısına doğru gidiyorlar. Gerçekte, bu "Fibonacci Sayıları" nı almayı sonsuza kadar sürdürme sonucunda bulunan sayılar (-1)/2 sayısına giderek daha da yaklaşırlar, bu sayının ondalık ifadesi de bilgisayarlarımızın verdiği tam hassasiyetle 0.618033989 olarak bulunmuştur. Fibonacci sayıları ailesi üç ayrı nedenle, yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur. Birincisi;dizinin daha küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır; bitkilerde, böceklerde, çiçeklerde vb. İkinci neden oranların limit değeri olan 0.618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; genellikle "altın oran" olarak adlandırılan bu sayı, oyun kartlarının biçiminden Mısır'daki piramitlere kadar bir çok şeyin matematiksel temelini oluşturmaktadır. Üçüncüsü daha çok, sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir. Önce doğada küçük Fibonacci sayılarıyla ne şekilde karşılaşıldığına bir bakalım. İlk olarak bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının düzeninde hemen her zaman Fibonacci sayılarını bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınmışsa ve bundan başlayarak, aşağıya veya yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam olarak altında veya üstünde olan bir yaprak bulunana kadar yapraklar sayılırsa (sap çevresinde birden fazla dönmeye gerek olabilir) bulunan yaprak sayısı, farklı bitkiler, fidanlar ve ağaçlar için farklıdır, ancak her zaman bir Fibonacci sayısıdır. Dahası yaprakları sayarken süreç kendini tamamlamadan önce yapılan devir sayısı da bir Fibonacci sayısıdır. Ayrıca papatyaların da normal olarak bir Fibonacci sayısı kadar taç yaprağı vardır, tabi seviyor - sevmiyor diye koparılmamış ise:). Bu sebeple siz siz olun olaya matematiksel yaklaşarak genellikle elinize aldığınız papatyaya "seviyor" sözcüğüyle başlayın, çünkü bir papatyanın yaprak sayısı genelde Fibonacci sayılarından 21, 34, 55 ve 89 dur. Bunların 3/4 ü tek sayı olduğundan büyük ihtimalle sonuç seviyor çıkar, bu da benden size bir matematikçi adayı tavsiyesi... Doğadan Fibonacci sayılarına diğer bir örnek ise ayçiçekleriyle ilgilidir. Ayçiçeğinin çiçek kısmında, ufak bölmelerde tohumlar vardır. Bu bölümlerin sınırları merkezden başlayıp çiçeğin dış kenarına giden sarmal eğriler şeklindedir. Eğer bir ayçiçeğini inceleme şansınız olursa ve hem saat yönünde hem de saat yönünün zıddındaki sarmalları sayarsanız bir Fibonacci sayısıyla karşılaşacağınızdan şüpheniz olmasın. Ayçiçeklerinin tohumları büyük ve bu sebeple incelenmesi rahat olduğundan örnek olarak verdim, yoksa ayçiçeğinin özel bir durumu yoktur. Birçok çiçeğin  tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir soğanın katmanları, ananas ve kozalakların kat kat kabukları gibi bitkisel şekillerin birçoğu Fibonacci sarmalları içerisindedir. "Fibonacci olmayan herhangi bir kozalak bulunmuş mudur?" diye sorabilirsiniz. Yanıt "Evet ama çok az sayıda." şeklindedir. Yüzde bir veya iki oranında farklı kozalakları olan (çoğu zaman bir kaç belirli çam türünden)bazı çam ağaçları vardır. Bunlar bile sık sık Fibonacci kozalaklarıyla , yakından ilişkilidirler, örneğin, normal olan 5 ve 3 sayıları yerine belki de bir çifte Fibonacci sarmalının 10 ve 6 sayı çiftine sahiptirler. Eğer Fibonacci sayılarının nasıl oluştuğunu, yani n'inci sayının , daha küçük iki komşusundan 
Fn = Fn-1 + Fn-2 denklemlerini kullanarak hesaplandığını hatırlarsak, ilk iki sayı seçilmeden bütün dizinin tümüyle saptanmış olmayacağı açıkça görülür. Fibonacci dizisi, F1 = 1 ve F2 = 1 ile başlar, öbürlerini de yukarıdaki denkleme göre daha sonra saptarız. Ancak bu iki başlangıç sayısının özel bir yanı olmadığından, başlangıç için başka değerler de seçilebilir ve aynı tanımlayıcı denklemi kullanarak tümüyle farklı bir sayı dizisi elde edebilirsiniz.
          Fransız matematikçisi Edward Lucas'ın adıyla anılan Lucas sıyıları dizisi Fibonacci sayı dizileriyle akrabadır. Başlangıç sayıları için seçilebilecek ikinci en basit sayıları seçerek F1 = 1 ve F2 = 3 olarak almıştır. F1 = 1 ve F2 = 2 koyarsak Fibonacci dizisini bazı ufak düzensizliklerle tekrarlayan bir dizi oluştuğuna ve yeni hiç bir şey elde edilmediğine dikkat etmenizi istiyorum. Oysa Lucas sayıları Fibonacci akrabalarından çok farklı bir dizi oluştururlar ve şu şekildelerdir;

1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,...

          Genellikle Lucas'ın baş harfi olan Ln ile gösterilirler. Lucas dizisi Fibonacci dizisinin birçok akrabasından biridir ancak ilginç olan bu sayıların da bazen doğada görülmesidir. Mesela Lucas ayçiçekleri olduğu belirlenmiştir. Fibonacci arkadaşlarından daha az rastlanıyor ancak 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan örnekler görülmüştür...           Doğada Fibonacci sayılarının ve çok sık olmamakla beraber Lucas sayılarının görülmesini açıklamaya çalışan bazı görüşler vardır. Bunlar içinde akla en yatkın olan, bir sap çevresindeki yaprakların Fibonacci sarmallarına göre sıralanmakla yüzeylerinin Güneş'i en verimli biçimde almalarının sağlandığı yolundadır. Diğer bir görüş ise (daha az doğrulanabilir olmasına rağmen), polen taşıyan böceklerin "sayısal düzenler" i tercih ettikleri varsayımına dayanmaktadır. Bu tercih sebebiyle evrim süreci boyunca Fibonacci geometrilerinin baskın çıkmasına yol açmıştır.
          Şimdi ise Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin sonsuza gitmeleri sonucu ortaya çıkan ve altın oran denilen limit oranı 0.618033989... sayısı üzerinde duralım. Bu sayıya olan ilgi 2000 yıl öncesinden de geriye dayanır. "Atalarımız" altın oranı temel alan sanat ve mimarinin göze olağanüstü güzel göründüğünü biliyorlardı. Bu nedenle geometriyi altın orana göre tanımladılar; özellikle de bir düz doğru parçasını ikiye ayıran nokta olarak. Öyle ki, küçük parçanın büyüğe oranı, büyüğün bütüne olan oranına tam olarak eşittir. Küçük bölümü x, büyük bölümü ise 1 ile gösterirsek aşağıdaki gibi bir ifade yazabiliriz;

x / 1 = 1 / ( 1 + x )

          Buradaki x+1 ifadesi anladığınız üzere doğru parçasının bütününün uzunluğudur. Bu ifadeye basit bir içler dışlar çarpımı uyguladığımızda
x² + x - 1 = 0   biçiminde ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadeden de x ' i çekersek  x = (-1) / 2 tam çözümünü elde ederiz. Daha önce de ifade ettiğim gibi x = (-1) / 2 ifadesi bilgisayarlarımızın vermiş olduğu hassasiyetle 0.618033989 sayısıdır. 
          Kısa kenarının uzun kenarına olan oranı altın oran olan bir dikdörtgen çizerseniz çok ünlü bir sanat eseri ortaya çıkarmış olursunuz, ve buna altın dikdörtgen adı verilir. Eski Yunan'da buna Kutsal kesit  adını vermişlerdi

          Şekildeki ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir. Siz de eğer bir altın dikdörtgenim olsun diyorsanız, önce bir ABCD karesi çizin. CD kenarının orta noktası F ise, CD kenarını FG=FB olacak şekilde uzatın. ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir.  İlk bakışta o kadar övgüye değer bir özellik göze çarpmasa da, bir çok yönden ilginç bir yapıdır. Bunun nedeni günümüze kadar uzanan nesiller boyunca insanların çoğunun onu bütün dikdörtgenler içinde göze en hoş gelen dikdörtgen olarak görmesidir. Bunun sonucunda da günlük hayatımızda karşılaştığımız binlerce dikdörtgenin büyük bir bölümünün boyutları, altın dikdörtgeninkine yakındır. Bayraklar, kibrit kutuları, gazeteler, oyun kağıtları, yazı kağıtları ve sayısız başka binlerce örnek bu sınıftandır. Sanatçıların ve psikologların tam anlayamadıkları bir nedenle altın dikdörtgenin estetik bir çekiciliği vardır. Yunan mimarisi ve çömlekçiliğinin dışında heykel, resim sanatları, mobilya ve sanatsal tasarımlar için de doğrudur.  Parthenon tapınağının ön bölümünü eksiksiz olduğu dönemde, bir altın dikdörtgenin içine neredeyse tıpatıp girebilirdi. Altın orana Mısır piramitlerinin bazılarının boyutlarında da rastlanır. Leonardo da Vinci de altın dikdörtgenlerden çok etkilenmiş, hatta bu konuda hazırlanan kitaba yazılarıyla katılmıştır. Ayrıca aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu bir çok eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Altın dikdörtgenin bir diğer özelliği de içinden bir kare attığınız zaman geriye kalan dikdörtgenin de bir altın dikdörtgen olmasıdır. Şekildeki ACGH dikdörtgeninden ABCD karesini atarsak geriye kalan BHDG dikdörtgeni de bir altın dikdörtgendir. Bu işlemi istediğimiz kadar devam ettirebiliriz, ve her seferinde bir öncekinden daha küçük altın dikdörtgenler elde ederiz. Bunlar içeriye doğru bir sarmal oluşturarak sonuçta bir noktaya yönelirler. Eğer giderek küçülen bu karelerin veya dikdörtgenlerin köşelerini veya merkezlerini sırasıyla birleştirirsek altın sarmal olarak bilinen bir sarmal elde etmiş oluruz. Bu sarmal öyle herhangi bir sarmal değildir. Özel bir sarmaldır ve daha öncede bahsettiğim ayçiçeğindeki sarmalın aynısıdır. Matematiksel olarak bu sarmala eşit açılı sarmal ya da logaritmik sarmal adı verilir. Logaritmik sarmal denilmesinin nedeni, onu en basit biçimde ifade eden cebirsel denklemlerin logaritma ifadelerinin kullanılarak yazılmasındandır. Eşit açılı sarmal denilmesinin nedeni ise sarmalın merkezinden çizilen bir düz doğrunun sarmalı hep aynı açıda kesmesidir. Bu şekilde çizilen başka bir doğru da aynı şeyi yapar... Bu çok özel sarmalın, bir nedenle, doğada çok sık tercih görmesi gerçekten ilginç bir durumdur. Deniz kabukları, salyangozlar, doğanın boynuzları, azı dişleri, pençeleri ve daha önce de bahsettiğim kozalaklar ve çiçekler; bunların hepsinin eşit açılı sarmalın bölümleri olduğu anlaşılıyor. Uzayın derinliklerindeki büyük galaksilerin bile dışa doğru dönen yıldızlardan oluşmuş, devasa boyutta eşit açılı sarmal kolları var. Ancak Fibonacci sayılarının ve altın oranın doğa ve sanattan ayrı olarak tümüyle matematiksel olan ilginç yönleri de var.
          Şimdi de basit kesirlere en basit örnek olan, belki de, yarım veya 1/2 yi ele alalım. Bunu daha karmaşık yaparak aşağıdaki gibi yazabiliriz:

          Şimdi ise bu basit işlemi temel alan, ancak işi bir adım daha ileriye taşıyan bir kesir yazalım;

          Bu kesrin değerini hesapladığımız zaman 2/3 yanıtını buluruz. Benzer biçimde bir adım daha atarsak bu sefer kesrimizin aldığı değer 3/5 olur. Artık bildiğimiz yolla devam ederek kesir yapılamayı bir adım daha sürdürürsek 5/8 gibi basit bir kesri ifade etmek için karmaşık bir yol bulduğumuzu anlarız. Şimdi bu kesri, yine bu kurallar çerçevesinde sonsuza kadar sürdürelim ve bir "sürekli kesir" elde edelim

 

          Sizce bu sayı ne olabilir? Yanıt için ipuçlarından birisi hesaplamış olduğumuz ilk dört katın yapı taşlarıdır. Onlar için 1/2, 2/3, 3/5 ve 5/8 sayılarını bulmuştuk. Bunlar da Fibonacci kesirleri F2/F3, F3/F4, F4/F5, ve F5/F6 ... dır. Acaba bu bu bir rastlantı mı, yoksa daha fazla kat eklemeyi sürdürürsek bu garip görünümlü kesrin giderek altın oran olan 0,618033989... sayısına yaklaşacağı anlamına mı geliyor? Bu sürekli kesir, sonsuz limitte, gerçekten altın orana mı eşit olur? Bunu anlamak için sonsuza nasıl gidilebilir?           Sonsuz limitle ilgili bu soruyu yanıtlamak, kesrin herhangi bir basamağındaki değerini hesaplamaktan çok daha kolaydır. Burada bilinmeyen yerine "x" koyma yöntemi gibi basit bir yöntem yardımımıza koşuyor. Sonsuz limitte, başlangıçtaki karşımızda olan  sonsuz sürekli kesri "x" ile gösterirsek, bunu şöyle bir denklemle ifade edebiliriz;

X=1/(1+X)

          Bu denklem hatırlayacağınız gibi daha önce altın kesiti tanımlarken bulduğumuz denklemdir ve çözümü x=(-1)/2, yani altın orandır. Öyleyse sonsuz sürekli kesirlerin en basiti (yani sadece 1 lerden oluşan) yine bizi 0,618033989... sayısına götürüyor. Bu sayıyı bulmak için kesri sonsuza kadar sürdürmenin gerekli olması, altın oranın irrasyonel olduğunun bir başka göstergesidir. 

Fibonacci dizileri ve altın sarmal tekrarlanan büyüme modellerinin önemli bir parçası; ancak "nasıl" ve "neden" olduğu tam bir sır. Ve bunun yaratıcısı da 13. yüzyılda yaşamış delikanlı Fibonacci'dir. Kayıtlara göre komşularının bu delikanlıya karşı takındıkları tavır için saygılı sözcüğü uygun düşmüyor; ona, biraz küçümseyerek, "Bigollone" yani "mankafa" derlermiş.

Başa dön 

 

 

 

 

 

 

 

MÜZİĞİN MATEMATİĞİ

 

Eski çağlardan beri müziğin matematik ile ilişkisi biliniyordu.

Ortaçağda eğitim programlarında müzik, aritmetik, geometri ve

astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Günümüzde bilgisayarlar

aracılığı ile bu bağ sürüyor.

 

 

Matematiğin müzik üzerindeki etkisinin açıkça görülebildiği

alan, müzik parçalarının yazımıdır. Bir müzik parçasında ritim

(4:4'lük, 3:4'lük, gibi), belirli bir ölçüye göre vuruş, birlik,

ikilik, dörtlük, sekizlik... notalar bulunur. Bir ölçüye göre

n sayıda nota yazmak, matematikte ortak paydayı bulmaya benzer,

çünkü belirli ritimde, değişik uzunluktaki notalar belirli bir

ölçüye uydurulur. Besteciler, yapıtlarını nota yazısının katı

kalıpları çerçevesinde, mükemmel bir biçimde ve zorlanmadan

yaratırlar. Karmaşık bir beste incelendiğinde, her ölçünün,

değişik uzunlukta notaları kullanan belirli sayıda vuruştan

oluştuğu görülür.

 

Matematik ile nota yazımının arasındaki bu ilişkinin yanı sıra

müzik, oranlar, üstel eğriler, periyodik fonksiyonlar arasındaki

ilişki de değerlendirilir. İlk kez oranlar ile müziği PISAGOR cular

ilişkilendirmiştir. Sesin, çekilen bir telin uzunluğuna bağlı

olduğu fark edilerek müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki

ilişki bulundu. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin

tellerin armonik sesler verdiği görüldü. Gerçekten de çekilen

tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı biçiminde

gösterilebilir. Örneğin, C(do) notasını çıkaran bir teli ele alalım. C'nin uzunluğunun

16/15'i B'yi (si), 6/5'i A'yı (la, 4/3'ü G'yi (sol), 3/2'si F'yi (fa), 8/5'i E'yi (mi), 16/9'u D'yi verir.

 

Kuyruklu pianonun biçiminin neden eğri olduğunu düşündünüz mü?

Gerçekten bir çok müzik aletinin biçimi ve yapımı matematiksel

kavramlara dayanır. Üstel fonksiyonlar ve eğriler bu kavramlardandır.

Üstel bir eğrinin denklemini y=a*kx (k>0) olarak düşünebiliriz.

Telli ve üflemeli çalgıların biçimler bu üstel eğrinin biçimiyle

eşlenebilir.

 

Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19.yy'da matematikçi

FOURIER 'in çalışmalarıyla doruğa çıktı. O, müzik aleti ve

insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle

tanımlanabileceğini, bunun da basit periyodik sinüs fonksiyonlarıyla

olabileceğini kanıtladı. Her sesin, onu başka müzikal seslerden

ayıran üç özelliği vardır:

 

perdesi

yüksekliği

dokusu

 

Fourier'in buluşu, sesin bu üç özelliğinin grafikle gösterilmesini

sağlamıştı. Ses dalgası, eğrinin frekansıyla: sesin yüksekliği,

eğrinin genliğiyle ve sesin dokusu periyodik fonksiyonun biçimiyle

ilişkilidir.

 

Müziğin matematiğinin kavranmasıyla, beste ve müzik aletleri yapımında

bilgisayarlardan yararlanmak mümkün olmuştur.

Başa dön 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pİ SAYISI

 

 

Pİ her zaman matematikçiler ile bilim insanlarının merak ve ilgisini uyandırmıştır. Pİ, dairenin çevresinin çapına oranıdır; aşkın (transandant) bir sayıdır.

 

? = 3.141592653589793238462643383279

5028841971693993751058209749445923

0785640628620899862803482534211706

7982148086513282306647093844609550

5822317253594081284811174502841027

..................................................

 

 

Binlerce yıldır insanlar Pİ 'nin daha çok ondalık basamağını hesaplamaya

çalışıyor. Örneğin, Arşimet bir dairenin içine çizdiği çokgenin kenar

sayısını artırarak Pİ 'nin 3 1/7 ile 3 10/71 arasında olduğunu yaklaşık

olarak hesaplamıştı. Krallık tarihçelerinde ? 3 olarak gösterilir. Bunu

Mısırlı matematikçiler yaklaşık 3,16 olarak bulmuştu. MS.150'de Batlamyus

3,1416 olarak hesaplamıştı.

 

Arşimetin yaklaşık olarak kullandığı hesap yöntemi, Pİ 'ye daha yaklaşık

bir sayı bulabilmek için sürdürülebilirdi. Diferansiyel ve integral hesap

bulunduktan sonra bu tür hesaplama yerine, yakınsak sonsuz seriler, çarpımlar

ve sürekli kesirlerle yaklaşılmaya çalışıldı. Örneğin,

 

? = 4/(1+12/(2+32/(2+52+(2+72/(...)))))

 

 

Pİ'yi hesaplamak için kullanılan en ilginç yollardan birini 18.yy'da Fransız

doğa bilimci Buffon kullanmıştır. Bir düzlem araları d birim olan paralel

çizgilerle ayrılmıştır. Uzunluğu d'den kısa olan iğne, bu çizgili düzleme

düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse, iyi atış olarak kabul

edilir. Buffon'un şaşırtıcı buluşu, iyi atışların kötü atışlara oranının Pİ'yi

içeren bir ifade olmasıdır. Eğer iğnenin uzunluğu d birimse iyi atış olasılığı

2/Pİ idi. Atış sayısı artırıldıkça sonuç Pİ 'ye daha çok yaklaşıyordu. 1901'de

İtalyan matematikçi Lazzerini 3408 atış yaparak Pİ 'nin değerini 3,1415929

olarak hesapladı ki bu ondalık basamağa kadar doğrudur. Pİ 'yi hesaplamak

için başka bir olasılık yöntemi 1904'te R.Charles tarafından bulundu. Buna

göre, rastgele yazılan iki sayının göreceli asal olmalarının olasılığı 6/Pİ dir.

 

Elbette çoğu kişi için Pİ nin değerini 4 ondalık basamağa kadar bilmek günlük

yaşam için yeterlidir. Bilim insanlarını hesapları içinse şu kriter

verilebilir : Dünya ile Ay arasındaki mesafeyi kıl payı hatayla ölçmek için

 Pİ'nin 40 ondalık basamağını kullanmak yeterlidir.

 

İngiliz matematikçi William Shanks 20 yıl boyunca hesaplamalar yaptıktan

sonra Pİ nin değerini 707 ondalık basamağa kadar buldu; ama, ne yazık ki 528.

basamakta 1945 yılına kadar keşfedilemeyen bir yanlış yapmıştı.

 

Neden Pİ 'yi milyonlarca basamağa kadar hesaplamaya çalışıyoruz?

 

Bu bilgisayarların hız ve hassasiyetini ölçmek için kullanılabiliyor

Hesaplama yöntemler, algoritmalar, yeni düşüncelerin, yaklaşımların ve

kavramların ortaya çıkmasını sağlıyor

Pİ 'nin şimdiye kadar bulunan ondalık basamaklarında e 'nin 6 ondalık basamağı 8 defa geçer

2'nin 8 basamağı Pİ 'nin 52 638. basamağından itibaren bulunur

Pİ nin ilk altı basamağı,Pİ nin ilk onmilyon ondalık basamağında en az 6 kez yinelenir..

 

 

iNSANOGLUNUN tuhaf takintilari vardir. Bazen bu bir kavram, bazen

bir sayi olabilir. "Pi" de bunlardan biri.. Binlerce yildir binlerce

seckin beyni dumura ugratti desek, yeridir. Cemberin cevre uzunluguna

orani olan bu sayiyi hepimiz, 3.14 olarak aklimiza kazimisizdir. Zira

bu sayi olmadan cember, daire alani, trigonometri gibi disiplinleri

edinemeyiz. "Pi" sayisini hayatimizdan, matematikten, geometriden cekip

aldiginizda, geride yalnizca kaos kalir.

"Pi"nin onemi ortada. Peki sorun nedir? iki hane neyimize yetmiyor? "Pi",

virgulden sonra devreden veya sonlanan bir sayi degil. Aksine, bir sayi

oldugu bile supheli. Zira bilinen hic bir kesrin sonucu olmadigi gibi,

virgulden sonra milyarlarca basamaga dahi gitseniz, kesin sonuca ulasamiyorsunuz.

Burada "Pi"nin tarihcesini verecek degilim. Arsimed'den Euler'e,

Leibniz'den kesis Wallis'e dek "Pi" sayisinin gelisimine katkisi

olanlarin calismalarini da yazmayacagim. Burada yalnizca, gunumuzde adeta

cilginlik boyutlarina varan "Pi" kluplerinden soz edecegim. "Pi"nin onemini

merak edenler, Bilim Teknik'in son sayisinda "Pi" hakkinda derlenmis sade

ve guzel arastirmayi okuyabilir.

Bugun internet ortamina da yansiyan bir tartisma var. "Dunya Pi Gunu".

Evet yanlis duymadiniz, dunya, "Pi Gunu"nu kutlamaya hazirlaniyor. Apollo

projesinde dahi, 9 hanesi yeterli olan (3.1415926538..) "Pi"yi milyarinci

basamagina kadar hesaplamanin pratikte bize hic bir faydasi yok. Ancak bugun

sayilari 10 bini asan matematikci, arastirmaci ve ogrenci, haril haril

"Pi"nin esrarini cozmeye calisiyor. Bu insanlar, yilda bir gunun, "Pi"ye

adanmasindan yana. Ancak bu, yilin hangi gunu olmali sorusu tartisma konusu.

Kimileri, 3.14'den yola cikarak, 3. ayin 14'u, yani 14 Mart'ta israrli.

Bir baska grup, Arsimed'in "Pi" yaklasim kesri olan 22/7'yi, yani 22 Temmuz'u

oneriyor. Dunya Pi Yaklasim Gunu'nu onerenlerin tezi su: "Pi, sonsuza uzanan

bir sayi. O halde en eski ve en basit onerme olan 22/7'yi kullanalim.

" (Yunanlilar'da ondalik kesir yoktu ve Arsimed, 22/7=3.14 sayisini onermisti.)

Bunun yani sira, "Pi'yi 50 Basamaga Kadar Bilenler Klubu", "Pi'yi Bin

Basamaga Kadar Ezberleyenler Dernegi", "Pi'ye Tapanlar Fan Klupleri"nin

haddi hesabi yok. Hatta "Pi" sairleri, tum dunyada birbiriyle haberlesiyor,

"Pi" icin yazdiklari siirleri paylasiyor. "Pi" muzigi, "Pi" sanati, "Pi" felsefesi,

"Pi" sosyolojisi ve digerleri.. Bu insanlarin isi mi yok? "Pi"yi nicin bu kadar

onemsiyorlar? Bence bu ugras, hic de bos bir sey degil. Bakiri altina cevirmek

icin yola cikan hayalperest simyacilar, bize bir kimya bilimi hediye etti. Ve,

"Pi" icin ugrasan yuzbinlerce beyin, "Pi"yi milyarlarca basamaga uzatirken,

matematikte yeni kavramlari kesfetti, yeni sentezlere ulasti. "Dunya Pi Gunu"nde

(14 Mart) da hepinizi bu adrese "MATEMATİK SANATİ.8M.COM" da görüşürüz.bu konu

hakkındaki e-maillerinizi bekliyorum...

 

Başa dön